Formule de Stirling

La formule de Stirling est célèbre pour donner une très bonne approximation de la factorielle d’un nombre. En effet, elle se révèle extrêmement efficace, avec une erreur inférieur à 2% dès le cinquième rang. On rappelle la formule ci-dessous:

    \[   n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n \]

Nous allons donner l’idée d’une démonstration utilisant la méthode du col.

Démonstration:
Exprimons tout d’abord la factorielle à l’aide de la fonction Gamma d’Euler:

    \begin{align*}n! = \Gamma(n+1) & = \int_0^{+\infty}e^{-t}t^n dt\\& = \int_0^{+\infty}e^{-(t-n\ln(t))} dt\label{G1}\end{align*}

On note f_n(t) = t-n\ln(t). On peut remarquer que cette fonction admet un minimum en calculant sa dérivée.

(1)   \begin{equation*} f'_n(t) = 1-\dfrac{n}{t}  \end{equation*}

On remarque que l’on a f'_n(t)= 0 \Leftrightarrow t=n. Ainsi, la fonction f admet un minimum en t_n=n.
On peut alors écrire le développement de Taylor de f au voisinage de t_n sous la forme suivante:

    \begin{align*}f_n(t) & = f_n(t_n) + \underbrace{f_n'(t_n)}_{=0}(t-t_n) + \dfrac{1}{2} f_n''(t_n)(t-t_n)^2 + o((t-t_n)^2)\\& = n-n\ln(n) + \dfrac{1}{2n}(t-n)^2 + o((t-n)^2)t\label{G1}\end{align*}


Ainsi, on peut écrire:

    \begin{align*}n! & \approx \int_0^{+\infty}e^{-(n-n\ln(n)+ \frac{1}{2n}(t-n)^2)} dt\\& \approx \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \int_0^{+\infty}e^{-\frac{(t-n)^2}{2n}} dt\label{approx}\end{align*}

En effectuant le changement de variable u=\dfrac{(t-n)}{\sqrt{2n}} et du = \dfrac{dt}{\sqrt{2n}}, on obtient:

(2)   \begin{equation*} n! \approx \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{2n}\int_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}^{+\infty}e^{-u^2} du  \end{equation*}

De plus, pour n suffisamment grand, on a:

(3)   \begin{equation*} \int_{-\sqrt{\frac{n}{2}}}^{+\infty}e^{-u^2} du \approx \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du = \sqrt{\pi}  \end{equation*}

Ainsi, on en déduit la formule de Stirling:

(4)   \begin{equation*}n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n\end{equation*}

Remarque:
On pourra noter que la démonstration ci-dessus n’est pas complètement rigoureuse. Les notations sont lacunaires (il faudrait préciser les passages à la limite et les équivalents à l’infini), et on passe rapidement sur l’utilisation du développement de Taylor. Pour s’en convaincre, on peut regarder l’allure de la courbe associée à la fonction f_n.

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