Diffraction de rayons X par un cristal

On considère un cristal éclairé par un rayonnement X incident caractérisé par une onde plane monochromatique, de vecteur d’onde \overrightarrow{q} et d’amplitude A_q. Le facteur de diffusion atomique f_Y(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}') d’un élément chimique Y est défini par A_{q'} = f_Y(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}')A_{q}. Dans la suite, on considèrera que la diffusion est élastique de sorte que la diffraction par le cristal se ramène à l’étude d’interférence entre les ondes planes monochromatiques diffusées par les atomes de la structure cristalline.

Déphasage entre deux ondes diffusées :
On considère deux atomes situés en O et P, interagissant avec l’onde incident de vecteur d’onde \overrightarrow{q} et émettant chacun une onde de vecteur d’onde \overrightarrow{q}'.

Sur le schéma ci-contre, on a:

  • (AP)\perp(AO)
  • (BP)\perp(BO)

La différence de marche est donc égale à AP + PB.

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La différence de marche entre les deux ondes diffusées par O et P est \delta = AP + PB. On a alors la relation suivante:

(1)   \begin{equation*} \delta = OP\cos(\theta) + OP\cos(\theta') = \overrightarrow{OP}.\dfrac{\overrightarrow{q}}{\Vert \overrightarrow{q} \Vert} - \overrightarrow{OP}.\dfrac{\overrightarrow{q}'}{\Vert \overrightarrow{q}' \Vert} \end{equation*}

Or, on sait que \Vert \overrightarrow{q} \Vert = \Vert \overrightarrow{q}' \Vert = \frac{2\pi}{\lambda}\lambda est la longueur d’onde. On en déduit l’expression du déphasage:

(2)   \begin{equation*} \Delta(\varphi) = \Vert \overrightarrow{q} \Vert \delta = \overrightarrow{OP}.(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{q}') = \overrightarrow{OP}.\overrightarrow{K}  \end{equation*}

On note \overrightarrow{K} = \overrightarrow{q}-\overrightarrow{q}'.

Diffraction par un cristal parfait :
On considère un cristal caractérisé par un motif contenant M atomes, dont les positions sont déterminées par \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{T} + \overrightarrow{\rho} = \sum_i n_i \overrightarrow{a_i} + (\alpha \overrightarrow{a_1} + \beta \overrightarrow{a_2} + \gamma \overrightarrow{a_3}), où les \overrightarrow{a_i} forment une base adaptée au réseau de Bravais, les n_i sont des coefficients entiers, et \alpha, \beta et \gamma sont des coefficients réels. Le cristal est de dimension N_i\vert \overrightarrow{a_i}\vert pour i = 1,2,3. L’amplitude totale diffractée par le cristal est la somme des amplitudes des ondes émises par chaque atome du cristal.

(3)   \begin{equation*}A_{tot}(\overrightarrow{K}) = A_q \displaystyle \sum_{j=1}^M f_{Y_j}(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}')e^{i\overrightarrow{\rho}_j.\overrightarrow{K}}\sum_{n_1=1}^{N_1} \sum_{n_2=1}^{N_2} \sum_{n_3=1}^{N_3} e^{i(n_1 \overrightarrow{a_1}.\overrightarrow{K} + n_2 \overrightarrow{a_2}.\overrightarrow{K} + n_3 \overrightarrow{a_3}.\overrightarrow{K})}\end{equation*}

On rappelle que l’intensité totale est I_{tot} = A_{tot}.A^*_{tot}. D’après ce qui précède, on voit que l’intensité totale peut s’écrire sous la forme suivante:

(4)   \begin{equation*} I_{tot}(\overrightarrow{K}) = I_{motif}(\overrightarrow{K}).I_{reseau}(\overrightarrow{K})  \end{equation*}

En effet, dans l’expression de l’amplitude, le premier facteur caractérise le motif, et on peut donc poser:

(5)   \begin{equation*} I_{motif}(\overrightarrow{K}) = \left|  A_q \displaystyle \sum_{j=1}^M f_{Y_j}(\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}')e^{i\overrightarrow{\rho}_j.\overrightarrow{K}}\right|^2 \end{equation*}

De plus, l’autre membre de l’expression de l’amplitude dépend uniquement du réseau de Bravais. On écrira alors:

(6)   \begin{align*} I_{reseau}(\overrightarrow{K}) & = \left|  \sum_{n_1=1}^{N_1} \sum_{n_2=1}^{N_2} \sum_{n_3=1}^{N_3} e^{i(n_1 \overrightarrow{a_1}.\overrightarrow{K} + n_2 \overrightarrow{a_2}.\overrightarrow{K} + n_3 \overrightarrow{a_3}.\overrightarrow{K})}\right|^2\\ & = \left| \prod_{i=1}^{3} e^{i(\frac{N_i}{2}\overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K})} \dfrac{\sin(\frac{N_i+1}{2}\overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K})}{\sin(\frac{1}{2}\overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K})} \right|^2\\ & = \prod_{i=1}^{3} \dfrac{\sin^2(\frac{N_i+1}{2}\overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K})}{\sin^2(\frac{1}{2}\overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K})} \end{align*}

On en déduit alors immédiatement que l’intensité est maximale lorsque \overrightarrow{a_i}.\overrightarrow{K} = 2n\pi, \forall i =1..3, avec n\in\mathbb{N} (condition de Laue). En particulier, cette condition peut s’écrire sous la forme suivante:

(7)   \begin{equation*} e^{\overrightarrow{T}.\overrightarrow{K}} = 1 \end{equation*}

Conclusion :
Ce dernier résultat signifie que l’intensité est maximale lorsque \overrightarrow{K} appartient au réseau réciproque du cristal. De plus, on retrouve bien le fait que l’intensité est maximale lorsque \overrightarrow{q} = \overrightarrow{q}' (c’est-à-dire que l’on observe l’onde en sortie du cristal dans la même direction que l’onde incidente).


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