Invariance d’un réseau de Bravais par rotation

Le but de cet exercice est de montrer que les rotations laissant invariant le réseau de Bravais d’un cristal ont des angles \theta dont les seules valeurs possibles sont 0, \pm \pi/3, \pm \pi/2, \pm 2\pi/3 et \pm \pi.

Démonstration :
Commençons par rappeler la forme de la matrice R_\theta associée à une rotation d’angle \theta dans un repère orthonormé adapté de l’espace.

(1)   \begin{equation*}R_\theta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\end{equation*}

On note que la trace de cette matrice est Tr(R_\theta) = 2\cos(\theta)+1. Ce résultat est important car la trace est invariante par changement de base.

Considérons à présent une base (\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3}) adapté au réseau de Bravais du cristal et notons R'_\theta la matrice de rotation précédente exprimée dans cette nouvelle base. Si le réseau est invariant par rotation d’angle \theta, alors on a R'_\theta.\overrightarrow{a_i} = \pm \overrightarrow{a_j}, c’est-à-dire que la rotation entraîne une permutation des vecteur \overrightarrow{a_i} au signe près. Ainsi, si l’on écrit R'_\theta dans la base des vecteur \overrightarrow{a_i}, on obtient une matrice dont les coefficients sont entiers, égaux à \pm 1, comme par exemple:

(2)   \begin{align*}& R'_{1,\theta} = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \pm 1 \\ 0 & \pm 1 & 0 \end{pmatrix} & R'_{2,\theta} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \pm 1\\ \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \end{pmatrix}\end{align*}

Dans tous les cas, le résultat qui nous importe est que la trace de la matrice R'_\theta est entière. Ainsi, on peut écrire la relation suivante:

(3)   \begin{equation*} 2\cos(\theta) = n \in \mathbb{Z} \end{equation*}

On obtient alors immédiatement les valeurs de \theta possibles, \cos(\theta) étant forcément entier ou demi-entier, à savoir 0, \pm \pi/3, \pm \pi/2, \pm 2\pi/3 ou \pm \pi.

Remarque :
Il vient alors comme conséquence immédiate, en observant les valeurs possible pour \theta, que les seules rotations laissant invariantes le réseau de Bravais sont d’ordre 1, 2, 3, 4 ou 6.

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