Volume de l’hypersphère
Une hypersphère est une sphère en dimensions. Elle généralise le concept de sphère que nous connaissons tous en dimension 3. L’idée est ici de donner une expression pour le volume
d’une hypersphère de rayon
dans un espace à
dimensions.
Tout d’abord, on peut écrire que , où
est le volume de l’hypersphère unité (hypersphère de rayon
).
Remarque :
On en déduit immédiatement l’expression de , la surface de l’hypersphère de rayon
. En dérivant l’expression précédente par rapport à
, on obtient:
.
Calculons à présent . Pour ce faire, nous allons poser
. Tout d’abord, on peut remarquer que l’on a affaire à un produit d’intégrales de Gaussiennes. On a donc :
(1)
Nous allons à présent effectuer le changement de variables et
. On peut dès lors écrire la relation suivante :
On peut alors effectuer le nouveau changement de variable . En particulier, on peut remarquer que l’on a la relation suivante :
(2)
On en déduit alors immédiatement la nouvelle expression de , c’est-à-dire :
(3)
Ainsi, on obtient le volume de la sphère unité :
(4)
Ainsi, de manière générale, on a l’expression suivante pour le volume de l’hypersphère en dimension :
(5)
Remarque :
On remarquer que si l’on calcule le volume de l’hypersphère unité, ce dernier atteint un maximum pour . De plus, il est intéressant de voir que le volume de l’hypersphère tend vers 0 quand le nombre de dimension tend vers l’infini quand le volume de l’hypercube, quant à lui, égal à
tend vers l’infini.
Dimension | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Sphère unité | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |