Volume de l’hypersphère

Une hypersphère est une sphère en D dimensions. Elle généralise le concept de sphère que nous connaissons tous en dimension 3. L’idée est ici de donner une expression pour le volume V_D d’une hypersphère de rayon R dans un espace à D dimensions.

Tout d’abord, on peut écrire que V_D = C_D \times R^D, où C_D est le volume de l’hypersphère unité (hypersphère de rayon R=1).

Remarque :
On en déduit immédiatement l’expression de S_D, la surface de l’hypersphère de rayon R. En dérivant l’expression précédente par rapport à R, on obtient: S_D = D.C_D.R^{D-1}.

Calculons à présent C_D. Pour ce faire, nous allons poser I_D = \displaystyle \prod_{i=1}^D \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x_{i}^2} \right). Tout d’abord, on peut remarquer que l’on a affaire à un produit d’intégrales de Gaussiennes. On a donc :

(1)   \begin{equation*} I_D = \displaystyle \prod_{i=1}^D \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x_{i}^2} \right) = \prod_{i=1}^D \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi}^D \end{equation*}

Nous allons à présent effectuer le changement de variables \displaystyle \sum_{i=1}^D x_{i}^2 = R^2 et \displaystyle \prod_{i=1}^D dx_i = dV_D. On peut dès lors écrire la relation suivante :

    \begin{align*} I_D = \displaystyle \prod_{i=1}^D \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x_{i}^2} \right) & = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x_{1}^2+x_{2}^2+…+x_{D}^2)} dx_1dx_2…dx_D\\ & = \int_{0}^{+\infty} e^{-R^2}dV_D \end{align*}

On peut alors effectuer le nouveau changement de variable y=R^2. En particulier, on peut remarquer que l’on a la relation suivante :

(2)   \begin{equation*} dV_D = d(C_D.(R^2)^{\frac{D}{2}}) = d(C_D.(y)^{\frac{D}{2}}) = \dfrac{D}{2}C_Dy^{\frac{D}{2}-1}dy \end{equation*}

On en déduit alors immédiatement la nouvelle expression de I_D, c’est-à-dire :

(3)   \begin{align*} I_D & = \displaystyle \dfrac{D}{2}C_D \int_{0}^{+\infty} y^{\frac{D}{2}-1}e^{-y}dy\\& = \dfrac{D}{2}C_D \Gamma\left(\frac{D}{2}\right)\\& = \dfrac{D}{2}C_D \left(\frac{D}{2}-1\right)!\\& = C_D \left(\frac{D}{2}\right)!  \end{align*}

Ainsi, on obtient le volume de la sphère unité :

(4)   \begin{equation*} C_D = \dfrac{\sqrt{\pi}^D}{\left(\frac{D}{2}\right)!} \end{equation*}

Ainsi, de manière générale, on a l’expression suivante pour le volume de l’hypersphère en dimension D :

(5)   \begin{equation*}V_D = \dfrac{\sqrt{\pi}^D}{\left(\frac{D}{2}\right)!}R^D\end{equation*}

Remarque :
On remarquer que si l’on calcule le volume de l’hypersphère unité, ce dernier atteint un maximum pour D=5. De plus, il est intéressant de voir que le volume de l’hypersphère tend vers 0 quand le nombre de dimension tend vers l’infini quand le volume de l’hypercube, quant à lui, égal à 2^D tend vers l’infini.

Dimension123456
Sphère unité2\pi\dfrac{4\pi}{3}\dfrac{\pi^2}{4} \dfrac{8\pi^2}{15}
\dfrac{\pi^3}{6}

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