[Projet] TIPE 2007 – Fonctions transcendantes

Mais d’abord, qu’est-ce qu’un TIPE ? Et bien un TIPE est un Travail d’Intérêt Personnel Encadré. C’est-à-dire, la même chose que les TPE au lycée, sauf que celui-là est intéressant (en tout cas, c’est ce que l’acronyme dit). Rien à voir donc, avec les TER (Travail Encadré de Recherche) que nous verrons plus tard, à l’université. Car oui, le TIPE est un travail que se doit de réaliser l’élève de classe préparatoire scientifique, et qui dit travail de recherche dit bien évidemment travail en groupe (oui, il s’agit d’un travail personnel à faire en groupe), et qui dit travail en groupe dit bien évidemment… le moins de travail possible !

Mon sujet portait sur les fonctions transcendantes. Une fonction transcendante est une fonction qui n’est pas algébrique, c’est-à-dire qu’elle n’est pas solution d’une équation polynomiale (pour ceux qui ne le savent pas, une fonction peut en effet être solution d’une équation).

Bref, pour le profane, on peut dire qu’une fonction transcendante n’est pas un polynôme. Par exemple, les fonctions trigonométriques, telles que sinuscosinus et tangente sont des fonctions transcendantes.

Le problème qui se pose alors est de savoir comment en calculer des valeurs. Car même la calculatrice et l’ordinateur effectuent des opérations pour obtenir un résultat, tout cela n’est pas magique. Alors, comment cela fonctionne-t-il ?

Cette question, bien peu de gens se la posent, et j’en ai fait la triste expérience. Même au niveau de la Maitrise, par exemple, certains élèves ne comprennent pas qu’ils auront besoin de connaitre une approximation du nombre Pi s’ils tentent de calculer un sinus ou un cosinus à l’aide des séries entières, pour une mesure d’angle en degré…

Quoiqu’il en soit, de nombreux algorithmes existent, allant de celui du CORDIC, bien connu des historiens pour avoir été utilisé par la NASA lors des missions Apollo, à des algorithmes plus sophistiqués utilisant des relations propres aux fonctions, ou enfin à ceux à base de développements sous forme de série entière lorsque cela est possible.

Un vaste sujet donc, que j’ai pu effleurer, accompagné de mes deux camarades, au cours du printemps 2007. Et ensemble, tout semblait possible…

Remarque (Janvier 2019) :
Il semble que quelques erreurs aient été commises, notamment concernant la majoration du reste de certaines séries, et notamment celui du développement en série entière de l’exponentielle. Nous nous excusons bien évidemment pour la gêne occasionnée.

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