{"id":479,"date":"2019-02-03T14:20:55","date_gmt":"2019-02-03T13:20:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.leotheodon.com\/V4\/?p=479"},"modified":"2019-04-09T21:31:15","modified_gmt":"2019-04-09T19:31:15","slug":"invariance-dun-reseau-de-bravais-par-rotation","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.leotheodon.com\/V4\/2019\/02\/03\/invariance-dun-reseau-de-bravais-par-rotation\/","title":{"rendered":"Invariance d’un r\u00e9seau de Bravais par rotation"},"content":{"rendered":"\n

<\/p>\n\n\n\n

Le but de cet exercice est de montrer que les rotations laissant invariant le r\u00e9seau de Bravais d’un cristal ont des angles \"\theta\" dont les seules valeurs possibles sont \"0\", \"\pm \pi/3\", \"\pm \pi/2\", \"\pm 2\pi/3\" et \"\pm \pi\".<\/p>\n\n\n\n

D\u00e9monstration :<\/strong>
Commen\u00e7ons par rappeler la forme de la matrice \"R_\theta\" associ\u00e9e \u00e0 une rotation d’angle \"\theta\" dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 adapt\u00e9 de l’espace.<\/p>\n\n\n\n

<\/a>

(1) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}R_\theta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\end{equation*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On note que la trace de cette matrice est \"Tr(R_\theta) = 2\cos(\theta)+1\". Ce r\u00e9sultat est important car la trace est invariante par changement de base.<\/p>\n\n\n\n

Consid\u00e9rons \u00e0 pr\u00e9sent une base \"(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3})\" adapt\u00e9 au r\u00e9seau de Bravais du cristal et notons \"R'_\theta\" la matrice de rotation pr\u00e9c\u00e9dente exprim\u00e9e dans cette nouvelle base. Si le r\u00e9seau est invariant par rotation d’angle \"\theta\", alors on a \"R'_\theta.\overrightarrow{a_i} = \pm \overrightarrow{a_j}\", c’est-\u00e0-dire que la rotation entra\u00eene une permutation des vecteur \"\overrightarrow{a_i}\" au signe pr\u00e8s. Ainsi, si l’on \u00e9crit \"R'_\theta\" dans la base des vecteur \"\overrightarrow{a_i}\", on obtient une matrice dont les coefficients sont entiers, \u00e9gaux \u00e0 \"\pm 1\", comme par exemple:<\/p>\n\n\n\n

(2) <\/span>   <\/span>\"\begin{align*}& R'_{1,\theta} = \begin{pmatrix} \pm 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \pm 1 \\ 0 & \pm 1 & 0 \end{pmatrix} & R'_{2,\theta} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \pm 1\\ \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \pm 1 & 0 \end{pmatrix}\end{align*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Dans tous les cas, le r\u00e9sultat qui nous importe est que la trace de la matrice \"R'_\theta\" est enti\u00e8re. Ainsi, on peut \u00e9crire la relation suivante:<\/p>\n\n\n\n

<\/a>

(3) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}<\/p><\/p>\n\n\n\n

On obtient alors imm\u00e9diatement les valeurs de \"\theta\" possibles, \"\cos(\theta)\" \u00e9tant forc\u00e9ment entier ou demi-entier, \u00e0 savoir \"0\", \"\pm \pi/3\", \"\pm \pi/2\", \"\pm 2\pi/3\" ou \"\pm \pi\".<\/p>\n\n\n\n

Remarque :
<\/strong>Il vient alors comme cons\u00e9quence imm\u00e9diate, en observant les valeurs possible pour \"\theta\", que les seules rotations laissant invariantes le r\u00e9seau de Bravais sont d’ordre \"1, 2, 3, 4\" ou \"6\".<\/p>\n\n\n\n

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