{"id":334,"date":"2019-02-02T20:35:28","date_gmt":"2019-02-02T19:35:28","guid":{"rendered":"https:\/\/www.leotheodon.com\/V4\/?p=334"},"modified":"2019-02-03T01:14:15","modified_gmt":"2019-02-03T00:14:15","slug":"oscillateur-harmonique-libre-non-amorti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.leotheodon.com\/V4\/2019\/02\/02\/oscillateur-harmonique-libre-non-amorti\/","title":{"rendered":"Oscillateur Harmonique libre non-amorti"},"content":{"rendered":"\n

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Dans cet article, nous allons traiter des vibrations harmoniques libres non-amorties. Concr\u00e8tement, nous allons consid\u00e9rer une masse \"m\" attach\u00e9 \u00e0 un mur par un ressort dont la constante de raideur est not\u00e9e \"k\".<\/p>\n\n\n\n

Le qualificatif \u00ab\u00a0non-amorti\u00a0\u00bb signifie que nous allons n\u00e9gliger les forces de frottement. Ainsi, le poids et la r\u00e9action du support (oppos\u00e9e au poids) sont les seules forces que nous consid\u00e9reront, en plus de la froce de rappel du ressort.<\/p>\n\n\n\n

Le qualificatif \u00ab\u00a0libre\u00a0\u00bb, quant \u00e0 lui, signifie qu’aucune autre force que celles sus-cit\u00e9es ne vient exciter l’oscillateur.<\/p>\n\n\n\n

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\"Rendered<\/p> <\/p>\n<\/div>\n\n\n\n

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Bilan des forces:<\/strong>
– Poids : \"\overrightarrow{P}=-mg.\overrightarrow{e_y}\"
– R\u00e9action du support : \"\overrightarrow{R} = -\overrightarrow{P}\"
– Force de rappel: \"\overrightarrow{F} = -k.L.\overrightarrow{e_x}\"<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n\n\n\n

En faisant le bilan des forces, on constate que \"\overrightarrow{P}\" et \"\overrightarrow{R}\" sont oppos\u00e9es et de m\u00eame norme. Par cons\u00e9quent, le mouvement s’effectue uniquement selon l’axe \"Ox\".<\/p>\n\n\n\n

Remarque:<\/strong>
On notera le terme \"L\" dans l’expression de la force de rappel. Il s’agit de l’\u00e9cart de la masse par rapport \u00e0 la position d’\u00e9quilibre. Commun\u00e9ment, si \"x_0\" est la position d’\u00e9quilibre, on aura alors \"L=x-x_0\" o\u00f9 \"x\" est l’abscisse de la masse.
On notera par ailleurs que \"\ddot x = \ddot L\".<\/p>\n\n\n\n

On peut d\u00e8s \u00e0 pr\u00e9sent \u00e9crire l’\u00e9quation du mouvement (seconde loi de Newton):<\/p>\n\n\n\n

(1) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}m.\ddot x = F \end{equation*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

Ainsi, on obtient l’\u00e9quation suivante:<\/p>\n\n\n\n

<\/a>

(2) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}m.\ddot L = -kL \end{equation*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On introduit alors une constante \"\omega\" appel\u00e9e \u00ab\u00a0pulsation\u00a0\u00bb d\u00e9finie de la mani\u00e8re suivante:<\/p>\n\n\n\n

(3) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\end{equation*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

On peut v\u00e9rifier que \"\omega\" a la dimension d’une pulsation (ou d’une fr\u00e9quence). Notre \u00e9quation (2)<\/strong> peut alors se r\u00e9-\u00e9crire sous la forme suivante:<\/p>\n\n\n\n

<\/a>

(4) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}\ddot L + \omega^2 L = 0\end{equation*}\"<\/p><\/p>\n\n\n\n

La solution de cette \u00e9quation est imm\u00e9diate:<\/p>\n\n\n\n

(5) <\/span>   <\/span>\"\begin{equation*}L(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\end{equation*}\"<\/p> <\/p>\n\n\n\n

Les constantes \"A\" et \"B\" d\u00e9pendent des conditions initiales.<\/p>\n\n\n\n

Remarque:<\/strong>
On notera que l’on peut tout aussi bien \u00e9crire \"L(t) = C\cos(\omega t + \varphi)\", o\u00f9 \"C\" et \"\varphi\" sont elles aussi deux constantes d\u00e9pendant des conditions initiales.
On notera que l’on peut \u00e9galement utiliser la repr\u00e9sentation complexe, \u00e0 savoir \"L(t) = Ae^{i\omega t}+ Be^{-i\omega t}\" o\u00f9 \"A\" et \"B\" sont cette fois ci des nombre sa priori complexes, \"L(t)\" devant demeurer r\u00e9el.<\/p>\n\n\n\n

Enfin, on peut d\u00e9finir la fr\u00e9quence des oscillations \"f = \frac{\omega}{2\pi}\" ainsi que la p\u00e9riode \"T = \frac{1}{f}\".<\/p>\n\n\n\n

\"Rendered<\/p><\/p>\n\n\n\n

Sur le graphique ci-dessus, on peut voir l’allure de la courbe associ\u00e9e \u00e0 \"L\" avec des conditions initiales et une pulsation particuli\u00e8res.<\/p>\n\n\n\n

Conclusion:<\/strong>
En analysant la forme de la solutions, on constate que la position (ou plut\u00f4t l’\u00e9cart \u00e0 la position d’\u00e9quilibre) de la masse est d\u00e9crite par une fonction p\u00e9riodique, de p\u00e9riode \"\omega\". La masse va donc osciller \u00e0 l’infini dans cette configuration, tant qu’elle ne sera pas perturb\u00e9e par une force ext\u00e9rieure, c’est pourquoi elle est \u00ab\u00a0libre\u00a0\u00bb. En outre, la p\u00e9riode \"T\" des oscillations d\u00e9pend uniquement de la masse \"m\" et de la raideur \"k\" du ressort.<\/p>\n\n\n\n


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